Matemáticas 2
Indice:
-Concepto y Clasificación de polígonos
-Teoremas de Ángulos
-Lugares geométricos relacionados con la circunferencia
-Teoremas de Ángulos dentro y fuera de la circuferencia
-Teoremas de medias proporcionales
Concepto y Clasificación de polígonos.
Clases de polígonos.
Los polígonos se clasifican según tres criterios:
- Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;
- Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta.
- Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.
- Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.
- Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.
- Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.
- Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.
- Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.
- Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.
- Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.
- Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.
- Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.
- Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría
- Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría
Por la igualdad o desigualdad de lados:
Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:
Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:
El triágulo es el polígono delimitado por tres lados; y que en consecuencia contiene tres ángulos, con sus respectivos vértices.
Teoremas de Ángulos
Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180°.
Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, suman 360°.
Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.
Teorema VII: Dos ángulos conjugados internos, entre paralelas, son suplementarios.
Teorema VIII: Los ángulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios.
Teorema IX: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido, son iguales.
Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario, son iguales.
Ejemplos de problemas de ángulos de polígonos
En un polígono regular, el lado y...
El ángulo central de un polígono regular siempre es...
El ángulo central y el ángulo interior de un polígono regular son...
Lugares Geométricos relacionados con la circunferencia.
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
Mediatriz
La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como el lugar geométrico — la recta — cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se le llama simetral.
Circunferencia
Ángulo central e inscrito
Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia.
El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.
Hipérbola
La HIPERBOLA es el lugar geometrico de los puntos P del plano tales que la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos F y F
0
, llamados focos, es constante. Si llamamos 2a a
esa constante
Ejemplos de ángulos en la circunferencia.
1. Encuentra los vértices y los focos de la hiperbola x
2
9
−
y
2
16
= 1.
2. Inscribe un triangulo equilatero en la hipérbola x
2 − 7y
2 = 4, que tenga un vértice en
un vértice de la hipérbola.
3. Dada la hipérbola x
2 − 4y
2 = 36 y uno de sus puntos (10, 4), comprueba la propiedad
geometrica siguiente (valida en cada punto): la tangente y la normal en este punto son
las bisectrices de los ángulos formados por los radios vectores del punto. [Observacion:
p
161 ± 60√
5 = 5√
5 ± 6].
Teoremas de Medias Proporcionales.
La media proporcional o media geométrica es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, es decir, cada uno de los términos medios de una proporción cuando son iguales.
Así, en la proporción la media proporcional es 4.
Si desea la fórmula para obtenerla, la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos, Por ejemplo
En 9:6::6:4 tenemos que 6= a la raíz cuadrada de los extremos 9 por 4.
Si el ejemplo fuera así 9:x:x:4, entonces x2=a la raíz cuadrada de 9x4 = a raíz cuadrada de 36 = 6.
observa que que la media x es el término desconocido, usando la propiedad fundamental de la proporciones: el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Problemas y ejercicios de áreas y perímetros en el circulo.
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